Percobaan : Kuantor

Assalamu'alaikum.. Ini sebagai percobaan postingan pertama.

1.  Kuantor

Suatu kalimat terbuka p(x) dapat diubah menjadi suatu pernyataan, yaitu dengan mengganti variabel dari suatu kalimat dengan suatu nilai tertentu (konstanta). Cara lain untuk mengubah suatu kalimat terbuka menjadi suatu pernyataan adalah dengan menggunakan kuantor. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut ini. Contoh 1.1 :

                  i.       x + 3 = 5, dalam hal ini HP = {2}

                ii.       x² – 3x + 2 = 0, dalam hal ini HP = {1, 2}

Pada kalimat terbuka x + 3 = 5, apabila x diganti dengan konstanta, yaitu:

        x diganti dengan 10 menjadi 10 + 3 = 5 (didapat pernyataan S)

        x diganti dengan 2 menjadi 2 + 3 = 5 (didapat pernyataan B)

Proses penggantian dengan konstanta ini disebut dengan proses instantiasi. Bagaimana halnya jika di depan kalimat terbuka x + 3 = 5, kita cantumkan kata-kata yang menyatakan jumlah (kuantor) seperti "ada" atau "semua" sebagai berikut:

        Untuk semua nilai x berlaku x + 3 = 5 (didapat pernyataan S)

        Ada nilai x yang memenuhi x + 3 = 5 (didapat pernyataan B)

Proses ini disebut proses kuantifikasi. Pernyataan pertama yang mengandung kata semua disebut pernyataan berkuantor universal (umum) dan kata semua disebut kuantor universal. Pernyataan kedua yang mengandung kata ada disebut pernyataan berkuantor eksistensial (khusus) dan kata ada disebut kuantor eksistensial.[1]

Perhatikan kalimat berikut ini : “Semua gajah mempunyai belalai”

Maka jika predikat “mempunyai belalai” diganti dengan simbol B maka dapat ditulis : G(x) ⇒ B(x), dapat dibaca “Jika x adalah gajah, maka x mempunyai belalai”.

Tetapi kalimat di atas belum berupa kalimat berkuantor karena kalimat diatas belum memuat kata “semua”. Untuk itu perlu ditambahkan simbul kuantor universal sehingga menjadi :

(∀x)(G(x) ⇒ B(x)), jadi sekarang dapat dibaca ” Untuk semua x, jika x adalah gajah, maka x mempunyai belalai”.[2]

a)  Kuantor universal (∀)

    Misalkan p(x) adalah kalimat terbuka yang didefinisikan pada himpunan semesta S, maka pernyataan :

    "Untuk setiap x di dalam S, maka p(x) benar. "

Disebut pernyataan kuantor universal dan kata untuk setiap dalam pernyataan di atas disebut kuantor universal. Kata-kata yang sering muncul/dipakai dalam pernyataan kuantor universal adalah semua dan untuk setiap. Simbol matematis untuk kedua kata tersebut adalah "∀".

Dalam aljabar, pernyataan kuantor universal ini dapat digunakan untuk mengubah kalimat terbuka menjadi kalimat tertutup (pernyataan). Misalkan p(x) adalah sebuah kalimat terbuka, maka untuk menyatakan himpunan penyelesaian dari p(x) pada himpunan semesta S dapat ditulis sebagai berikut :

       ∀x, p(x) dibaca "semua x bersifat p(x)".

       ∀x ∈ S, p(x) dibaca "semua x anggota S bersifat p(x)".

Nilai kebenaran dari pernyataan berkuantor ∀x, p(x) bergantung pada himpunan semesta yang ditinjau dan kalimat terbuka p(x).

Contoh 1.2 :

1)      Apabila p(x): x + 4 > 3 dengan himpunan semesta Z (himpunan bilangan asli), maka pernyataan: ∀ x ∈ Z; x + 4 > 3 adalah suatu pernyataan yang bernilai benar, karena HP = {1, 2, 3, 4, ...} = Z

2)      Apabila q(x): x + 1 > 8 dengan himpunan semesta Z (himpunan bilangan asli), maka pernyataan: ∀ x ∈ Z; x + 1 > 8 adalah suatu pernyataan yang bernilai salah, karena untuk x = 1, 1 + 1 < 8. HP = {8, 9, 10, ...} ≠ Z

Dari contoh di atas, dapat disimpulkan bahwa :

Apabila {x | x ∈ Z, p(x)} = Z maka ∀ x ∈ Z, p(x) adalah benar.

Apabila {x | x ∈ Z, p(x)} ≠ Z maka ∀ x ∈ Z, p(x) adalah salah.[3]

Pernyataan ”Untuk setiap x, P(x)  bernilai benar jika terdapat sekurang-kurangnya satu x ∈ D sehingga P(x) benilai benar. Jadi ntuk mengevaluasi sebuah proposisi  dalam bentuk simbolik dan memuat predikat, kita harus menetapkan daerah asal dari setiap variabelnya dan memberikan interpretasi terhadap fungsi dan predikat yang ada di dalamnya.

Contoh 1.3 : Tulislah proposisi berikut secara simbolik : “Untuk setiap bilangan bulat positif yang habis dibagi dengan 6 juga habis dibagi dengan 3”

Jawaban

Misalkan : Predikat “x habis dibagi dengan y” secara simbolik ditulis sebagai P(x,y). Maka predikat “x habis di bagi 6 juga habis di bagi 3" secara simbolik dapat ditulis : Jika P(x,6) maka P(x,3). Jadi proposisi yang secara simbolik dapat ditulis sebagai berikut : ∀x, jika P(x,6), maka P(x,3) dengan daerah asal himpunan bilangan bulat positif.

Contoh 1.4 : Evaluasilah apakah proposisi berikut benar atau salah! ∀ x∃y, Q(x,y) dengan Q(x,y) mempunyai interpretasi 2x=y mempunyai daerah asal himpunan bilangan ganjil.

Jawaban

Prorposisi tersebut dapat dikatakan sebagai berikut : Untuk setiap bilangan ganjil x dapat ditemukan bilangan ganjil y sehingga 2x=y. Karena untuk setiap x bilangan ganjil 2x bilangan genap, maka bilangan y adalah genap (dengan kata lain bilangan ganjil y tak pernah di temukan. Jadi proposisi yang ditanyakan bernilai salah.[4]

Contoh 1.6 : Perhatikan pernyataan berikut ini : “Semua mahasiswa harus rajin belajar”

Jawaban

Untuk melakukan pengkuantoran universal pada pernyataan tersebut maka dilakukan langkah-langkah seperti berikut : Carilah lingkup (scope) dari kuantor universalnya, yaitu “Jika x adalah mahasiswa, maka x harus rajin belajar”. Selanjutnya akan ditulis : mahasiswa (x) ⇒ harus rajin belajar (x). Berilah kuantor universal di depannya (∀x)(mahasiswa(x) ⇒ harus rajin belajar (x))

Ubahlah menjadi suatu fungsi (∀x)(M(x) ⇒ B(x))

Contoh 1.7 : Perhatikan pernyataan berikut ini : ”Semua tanaman hijau membutuhkan air untuk tumbuh ”

Jawaban

Jika x adalah tanaman hijau, maka x membutuhkan air untuk tumbuh Tanaman hijau (x) ⇒ membutuhkan air untuk tumbuh (x). (∀x)(Tanaman hijau (x) ⇒ membutuhkan air untuk tumbuh (x))

(∀x)(T(x) ⇒ A(x))

Contoh 1.8 : Jika diketahui persamaan x+3>10, dengan x adalah himpunan bilangan bulat positif A > 5 . Tentukan nilai kebenaran (∀x ∈ A) x+3>10.

Jawaban

Untuk menentukan nilai kebenarannya, maka harus dicek satu persatu.

A={1,2,3,4}. Jika kuantor universal, maka untuk semua nilai A yang dimasukkan harus memenuhi persamaan yaitu x+3>10

Untuk A=1, maka 1+3>10 ≡ 4>10 Memenuhi

Untuk A=2, maka 2+3>10 ≡ 5>10 Memenuhi

Untuk A=3, maka 3+3>10 ≡ 6>10 Memenuhi

Untuk A=4, maka 4+3>10 ≡ 7>10 Memenuhi

Karena semua himpunan A memenuhi, maka (∀x) x+3>10 bernilai benar. Tapi jika ada satu saja nilai A yang tidak memenuhi, misalnya dimasukkan A=8, sehingga 8+3>10 ≡ 11>10, dimana hasilnya salah maka (∀x) x+3>10 bernilai salah. Nilai x yang menyebabkan suatu kuantor bernilai salah disebut dengan contoh penyangkal atau counter example.[5]

b)  Kuantor eksistensial (∃)

Misalkan p(x) adalah suatu kalimat terbuka yang didefinisikan pada himpunan semesta S, maka pernyataan: "Ada x di dalam S sedemikian sehingga p(x) benar" disebut pernyataan eksistensial (khusus) dan kata ada dalam pernyataan di atas disebut kuantor eksistensial.

Kata-kata yang sering muncul/dipakai dalam pernyataan eksistensial adalah ada, beberapa, dan paling sedikit satu. Simbol matematis untuk ketiga kata tersebut sama yaitu "∃".

∃x ∈ Z, p(x) dibaca "Ada nilai x anggota Z sedemikian sehingga p(x) menjadi pernyataan benar" atau secara singkat dapat dikatakan "Terdapat x yang bersifat p(x)". Bentuk ∃x ∈ Z, p(x) dapat pula ditulis sebagai ∃x, p(x) bergantung pada himpunan semesta yang ditinjau dan kalimat terbuka p(x).

Contoh 1.9 : Apabila ∃n ∈ Z, n+4 < 7, dengan Z = himpunan bilangan asli adalah pernyataan benar, karena : {n | n + 4 < 7} = {1, 2}. Apabila ∃n ∈ Z, n+6 < 4, dengan Z = himpunan bilangan asli adalah pernyataan salah, karena: {n | n + 4 < 7} = { }

Dari contoh di atas, dapat disimpulkan bahwa:

Apabila {x | p(x)} ≠ {  } maka ∃x, p(x) adalah benar.

Apabila {x | p(x)} = {  } maka ∃x, p(x) adalah salah.[6]

Contoh 1.10 : Perhatikan kalimat berikut ini : ”Ada pelajar yang memperoleh beasiswa berprestasi” Untuk melakukan pengkuantoran eksistensial pada pernyataan tersebut, dilakukan langkkah-langkah sebagai berikut :

Carilah scope dari kuantor-kuantor eksistensialnya, yaitu :

“Ada x yang adalah pelajar, dan x memperoleh beasiswa berprestasi“ Selanjutnya akan ditulis : Pelajar (x) ∧ memperoleh beasiswa berprestasi (x). Berilah kuantor eksisitensial di depannya. (∃x)(Pelajar (x) ∧ memperoleh beasiswa berprestasi (x)). Ubahlah menjadi suatu fungsi. (∃x)(P(x) ∧ B(x))

Contoh 1.11 : Perhatikan kalimat berikut ini : “Beberapa orang rajin beribadah”. Jika ditulis dengan menggunakan logika predikat, maka: ”Ada x yang adalah orang, dan x rajin beribadah”. (∃x)(Orang (x) ∧ rajin beribadah (x)) (∃x)(O(x) ∧ I(x))

Contoh 1.12 : Misalkan B adalah himpunan bilangan bulat. Tentukan nilai kebenaran (∃x ∈ B)(x²=x).

Jawaban

(∃x ∈ B)(x²=x) dapat dibaca “Terdapat x yang adalah bilangan bulat dan x memenuhi x²=x”. (∃x ∈ B)(x²=x) akan bernilai benar jika dapat ditunjukkan paling sedikit ada satu bilangan bulat yang memenuhi x²=x.

Jika x = -1, maka (-1)² ≠ -1 Tidak memenuhi

Jika x = 1, maka (1)² = 1 Memenuhi

Karena ada satu nilai yang memenuhi, yaitu x=1, maka pernyataan di atas bernilai benar.

c)  Kuantor Ganda

Domain atau semesta pembicaraan penafsiran kuantor sangat penting untuk menentukan jenis kuantor yang akan digunakan serta mempengaruhi penulisan simbolnya. Lihat contoh berikut : “Setiap orang mencintai Jogjakarta”. Selanjutnya, dapat ditulis simbolnya dengan logika predikat (∀x)C(x,j) Simbol tersebut dapat dibaca “Untuk semua y, y mencintai Jogjakarta”. Persoalan yang terjadi adalah domain penafsiran seseorang untuk y bisa berbeda-beda. Ada orang yang menganggap y adalah manusia, tetapi mungkin orang lain menganggap y bisa mahluk hidup apa saja, missal ayam, bebek, bahkan mungkin y bisa menjadi benda apa saja.

Tentu saja domain penafsiran semacam ini kacau karena yang dimaksudkan pasti hanya orang atau manusia. Oleh karena itu, untuk memastikan bahwa domain penafsiran hanya orang, penulisan simbol harus diperbaiki seperti berikut (∀y)(O(y)⇒C(y,j) ). Sekarang simbol tersebut dapat dibaca ”Untuk semua y jika y adalah orang, maka y mencintai Jogjakarta”.  Untuk menulis simbol yang tepat, memang harus menempatkan terlebih dahulu domain penafsiran karena domain penafsiran sangat mempengaruhi penulisan dan sekaligus menghindari terjadinya ambiguitas. Contoh domain penafsiran yang bersifat umum antara lain manusia, binatang, tumbuh-tumbuhan, bilangan prima, bilangan asli, dan sebagainya, yang nantinya akan menggunakan kuantor universal. Akan tetapi jika tertentu saja atau tidak semuanya, misalnya beberapa manusia, atau satu manusia saja, akan memakai kuantor yang berbeda yaitu kuantor eksisitensial.

Persoalan selanjutnya adalah bagaimana jika memakai dua kuntor yang berbeda pada satu penulisan simbol yang berasal dari satu pernyataan. Apakah domain penafsiran juga akan berbeda atau sama? Perhatikan contoh berikut ini :

Contoh 1.13 : “Setiap orang dicintai oleh seseorang” Dengan notasi simbol logika predikat, akan ditullis seperti berikut : (∀x)(∃y)C(y,x) Yang dapat dibaca ”Untuk semua x, terdapat y dimana y mencintai x”

x dan y sebenarnya menunjuk domain penafsiran yang sama yaitu orang, dan pada simbol tersebut ternyata dibedakan. Penulisan tersebut lebih baik lagi jika bisa memakai variabel yang sama. Maka pernyataan diatas secara lengkap dapat ditulis : (∀x)(O(x)⇒ (∃x)(O(y)∧ C(y,x))

Sekarang perhatikan contoh penulisan pernyataan berikut jika menggunakan angka atau bilangan. (∀x ∈ R)(∀y ∈ R)S(x,y), misalkan S(x,y)=x+y=y+x dan dapat dibaca “Untuk semua bilangan real x dan semua bilangan real y, adalah benar x+y=y+x”.

Sekarang perhatikan jika pengkuantoran ternyata melibatkan lebih dari satu jenis kuantor dengan contoh pernyataan berikut :

Contoh 1.14

“Terdapat bilangan positif x sedemikian sehingga untuk semua bilangan positif y berlaku y<x”

Jawaban

Pernyataan di atas dapat ditulis : (∃x)(∀y)(y<x). Sebelumnya telah dijelaskan bahwa kuantor universal (∀) dan kuantor eksistensial (∃) diperlakukan sebagai perangkai unary dan kuantor juga memiliki urutan lebih tinggi dibandingkan dengan perangkai binary.

Contoh 1.15

H(x)∶ x hidup

M(x)∶ x mati

(∀x)(H(x) ∨ M(x)) dibaca “Untuk semua x, x hidup atau x mati” Akan tetapi jika ditulisnya (∀x)(H(x)) ∨ M(x) maka dibaca “Untuk semua x hidup, atau x mati”. Pada “x mati”, x tidak terhubung dengan kuantor universal, yang terhubung hanya”x hidup”. Sekali lagi, perhatikan penulisan serta peletakan tanda kurungnya. Secara umum, hubungan antara penempatan kuantor ganda adalah sebagai berikut :

(∀x)(∀y) P(x,y) ≡ (∀y)(∀x) P(x,y)

(∃x)(∃y) P(x,y) ≡ (∃y)(∃x) P(x,y)

(∃x)(∀y) P(x,y) ≡ (∀y)(∃x) P(x,y)

Ingkaran kalimat berkuantor ganda dilakukan dengan cara yang sama seperti ingkaran pada kalimat berkuantor tunggal.

  [(∃x)(∀y) P(x,y)] ≡ (∀x)(∃y) P(x,y)

  [(∀x)(∃y) P(x,y)] ≡ (∃x)(∀y) P(x,y)

Contoh : 1.16 : Tentukan negasi dari logika predikat berikut ini : (∀x)(∃y) x=2y dengan domainnya adalah bilangan bulat.

Jawaban

(∀x)(∃y) x=2y dibaca “Untuk semua bilangan bulat x, terdapat bilangan bulat y yang memenuhi x=2y. Maka negasinya : [(∀x)(∃y) x=2y] ≡ (∃x)(∀y) x≠2y

Contoh 1.17 : Tentukan negasi dari logika predikat berikut ini : Ada toko buah yang menjual segala jenis buah.

Jawaban

Dapat ditulis (∃x)(∀y) x menjual y. Maka negasinya [(∃x)(∀y) x menjual y] ≡ (∀x)(∃y) x tidak menjual y. Dibaca “Semua toko buah tidak menjual paling sedikit satu jenis buah”.[7]